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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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Es gilt für x ∈ F × N ((x)) = |NF |Q (x)|. Beweis. Beide Seiten sind multiplikativ, also nehmen wir ohne Einschränkung x ∈ oF an. Aus dem Elementarteilersatz folgt (oF : xoF ) = |det(x· : F → F )| mit der Determinante von x· als Endomorphismus des Q-Vektorraums F . Die Determinante ändert sich nicht bei Skalarerweiterung: det(x· : F → F ) = det(x· : FC → FC ). Über C kann x· mittels jC in Diagonalform gebracht werden als: j(x)· = (τ (x))τ · : C→ τ C, τ und somit ist die Determinante gerade det(x· : FC → FC ) = τ (x) = NF/Q (x).

Für Gal(C/R)-Moduln M bezeichnet man oft die Inverianten mit M + = M Gal(C/R) = {x ∈ M ; σ(x) = x für alle σ ∈ Gal(C/R)} = H0 (Gal(C/R), M ). 11. Die Einschränkung von −, − auf Beweis. Für alle x, y ∈ + τ C ist ein Skalarprodukt. + τ C gilt x, y = Φ∞ (x), Φ∞ (y) = x, y . Also nimmt x, y Werte in R an. Weiter gilt x, x > 0 für x = 0, weil −, − hermitesches Skalarprodukt ist. 48 JAKOB STIX Die Abbildung jC induziert einen Isomorphismus auf Gal(C/R)-Invarianten: + ∼ jR : F ⊗Q R − → . 12. Sei F ein Zahlkörper.

Beweis. Seien p1 , . . , pr eine vollständige Liste der maximalen Primideale von A. 34, weil damit für A die Divisorabbildung r K× Z·p Div(A) = i=1 surjektiv ist. 36. Jedes gebrochene Ideal I eines Dedekindrings A kann von höchstens 2 Elementen erzeugt werden. 40 JAKOB STIX Beweis. Sei s ∈ K mit a = sI ist eine Ideal. Es reicht offensichtlich die Behauptung für a zu zeigen. Wenn a = (0), dann ist nichts zu zeigen. Wir nehmen daher an, daß es 0 = x ∈ a gibt. Die Inklusion (x) ⊆ a ist nach Lokalisieren an p ein Isomorphismus, wenn vp (x) = vp (a).

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